متغیر های آماری/ کارگاه ریاضی و آمار مرکز ترویج علوم انسانی با تدریس منصور قاسم‌زاده، عضو شورای انجمن ریاضی معلمان برگزار شد.
متن پیاده شدۀ این کارگاه را در ادامه می‌خوانیم؛
تغییر و تحولات کتاب درسی
در سال‌های اخیر کتاب درسی ریاضی و آمار رشته‌ی انسانی تغییر کرده است.
رویکرد بخش آمارِ آن با توجه به مفاهیم جدید وارد شده در کتاب، تغییر کرده است که این تغییرات باعث ایجاد ابهام در فرایند آموزشِ آموزگاران و فرایند یادگیریِ دانش‌آموزان شده است.
موضوع بیشتر سوالات همکاران در رابطه با مبحث آمارِ کتاب ریاضی و آمار۱ متغیرها، داده‌ها ، خصوصا مقیاس‌های اندازهگیری متغیرها و نمودارهای حبابی و خصوصا راداری است.
ابتدا با ریاضی و آمار۱ شروع می‌کنیم و پس از پاسخ دادن به سوالات مباحث آمار و ریاضیِ آن، به مباحث کتاب ریاضی و آمار۲ می‌پردازیم.
در مبحث ریاضیِ کتاب ریاضی و آمار۲ ممکن است تعداد سوالات ایجاد شده برای همکاران کم باشد؛ بنابراین در رابطه با مباحث شاخص‌ها و سری زمانی در بخش آمارِ آن بحث خواهیم کرد.
در پایان به کتاب ریاضی و آمار۳ در رابطه با بحث چرخه‌ی آمار که خصوصا در رابطه با مباحث مرتبط با کتاب ریاضی و آمار۱ مطرح شده است و دانش‌آموزان با شیوه‌ی آمارگیری آشنا هستند، بحث خواهیم کرد.
بیان مسئله در بحث چرخه‌ی آمار بسیار اهمیت دارد.
یادگیری با چشم یا گوش
یکی از چالش‌های رشته‌ی علوم انسانی، فرایندِ آموزشِ سنتی و مطابق با گذشته است؛ به طور کلی شیوه‌ی آموزش ما قدیمی است.
بهتر است شیوه‌ی آموزش از روش شنیداری به روش دیداری تغییر پیدا کند؛ زیرا تاثیر تصاویر در فرایند یادگیری خیلی بیشتر است.
پیشنهاد می‌کنیم برای کتاب‌های درسی علوم پایه، محتواهای تصویری تهیه بشود تا در مدارسی که دارای امکانات می‌باشند بتوان از آن‌ها بهره برد تا درک دانش‌آموزان از مطالب، دقیق‌تر و راحت‌تر باشد.
با توجه به روش سنتی تدریس، دانش‌آموزان اغلب درک درست و کاملی از مفاهیم به‌دست نمی‌آورند.
نقش دبیران در آموزش
در مباحثی از کتاب درسی معلم می تواند یک فعالیت مناسب و مرتبط با موضوع در کلاس های مختلف بجای فعالیت کتابی استفاده نماید.
برای مثال در بحث ورود معادله‌ی درجه‌ی ۲، دبیران می‌توانند از فعالیت‌های دیگری برای بهبود فرایند یادگیری دانش‌آموزان استفاده کنند.
در کتاب ریاضی و آمار ۲ نیز فعالیت‌هایی وجود دارند که باعث سردرگمی دانش‌آموزان شده و بهتر است برای آموزش آن، از فعالیت‌های ساده تر که زیاد طولانی نباشند استفاده کنند.
حذف ریاضی از رشته‌ی انسانی
به عقیده‌ی یکی از همکاران، درس ریاضی و آمار از رشته‌ی انسانی باید حذف یا حداقل سبک و راحت‌تر شود؛ علت وجود این درس در رشته‌ی انسانی تعداد معدودی از رشتههای دانشگاهی مانند مدیریت بازرگانی است که به ریاضیات نیاز دارد؛ اما بهتر است در چیدمان و طبقه بندی رشتههای دانشگاهی تجدید نظر شود.
در پاسخ به این دیدگاه می‌توان گفت که آموزش عمومی مانند ریاضی عمومی برای هر فردی ضروری است؛ اما در میزان سختی مطالب و زمان آموزشی کمِ آن‌ها باید تغییراتی ایجاد کرد.
پایه و اساس علم آمار
در ریاضی و آمار۱ واحد آماری، مقدار نسبت داده شده به واحد آماری و جامعه آماری از اهمیت زیادی برخوردار هستند.
به هر یک از افراد یا چیزها که در یک بحث آماری مورد مطالعه قرار می‌گیرند، یک واحد آماری می‌گویند.
برای مثال اگر بخواهیم معدل دانش‌آموزان یک کلاس را بررسی کنیم، واحد آماری، دانش‌آموزانِ کلاس می‌باشد.
مجموعه‌ی دانش‌آموزان کلاس که همان مجموعه‌ی واحدهای آماری می‌باشد یک جامعه‌ی آماری نامیده می‌شود.
به مقداری که به هر یک از متغیر مورد مطالعه واحدهای آماری نسبت می دهیم، داده‌ی آماری گفته می‌شود.
در این مثال مقادیر عددی که از معدل دانش‌آموزان با روش‌های جمع‌آوری داده‌ها به دست می‌آید، داده‌های آماری می‌باشند.
موضوعی که منجر به داده می‌شود، مورد مطالعه‌ی ما قرار می‌گیرد و از واحدی به واحد آماری دیگری قابل تغییر است به‌عنوان متغیر در نظر گرفته می‌شود.
انواع متغیر
در کتاب‌های سابق آمار، بحث مقیاس‌های اندازه گیری متغیرها را به‌عنوان متغیرهای گسسته و پیوسته می‌شناختیم؛ اما اکنون برای اندازه گیریِ داده های یک متغیر در کار آماری، آن‌ها را تحت عنوان شاخص یا مقیاس برای اندازه گیری آن داده در نظر می‌گیریم.
متغیرها به دو دسته تقسیم می‌شوند: متغیرهای کمی و متغیرهای کیفی؛ متغیرهای کیفی در دسته‌ی مقیاس‌های اسمی و ترتیبی و متغیرهای کمی در دسته‌ی مقیاس‌های فاصله‌ای و نسبتی قرار می‌گیرند.
مقیاس اسمی
مقیاس‌های اسمی در معنای اسم گذاشتن، نام گذاشتن، برچسب گذاشتن و کد گذاشتن و … خلاصه می‌شوند.
برای مثال گروه‌های خونی در دسته‌ی مقیاس‌های اسمی قرار می‌گیرند؛ زیرا فقط نام گذاری شده‌اند و این نام‌ها بر یکدیگر برتری ندارند.
کد فقط برای نامیدن و شناسایی این متغیرها است و صرفا برای گروه بندی بکار می روند و ارزش عددی ندارند؛ مانند کد جنسیت، کد ملی و… .
به طور کلی هر کدام از متغیرها و پارامترهایی که با آن‌ها روبرو می‌شویم و در این حیطه قرار می‌گیرند، در دسته‌ی مقیاس‌های اسمی قرار می‌گیرند.
اگر با مقیاس‌های دیگر آشنا شوید تفاوت‌های آن‌ها را با این نوع مقیاس بهتر درک می‌کنید.
مقیاس ترتیبی/ متغیر
مقیاس دیگری که از مقیاس اسمی قوی‌تر عمل می‌کند، مقیاس ترتیبی نام دارد.
مقیاس ترتیبی ویژگی‌های مقیاس اسمی مانند کد گذاری، برچسب گذاری و … را دارد؛ اما شامل ارجحیت و تقدم ویژه‌ای است.
به‌عنوان مثال اگر بخواهیم ۳ نفر اول از یک کلاس را به عنوان شاگردهای اول و دوم و سوم معرفی کنیم؛ کد ۱ را به دانش‌آموزی با معدل بالاتر و کد ۲ را به دانش‌آموز متوسط و کد ۳ را به دانش‌آموز ضعیف‌تر می‌دهیم.
می‌دانیم که کد ۱ نسبت به کد ۲ و کد ۲ نیز نسبت به کد ۳ ارجحیت و برتری دارد.
اگر کد ۱ با معدل ۱۹ و کد ۲ با معدل ۱۷ و کد ۳ با معدل ۱۲ باشد، معنای اختلاف این کدها برای ما مشخص نمی‌شود و نمی‌توانیم رابطه‌ای میان آن‌ها پیدا کنیم.
سایز کفش نیز از مثال‌های مقیاس ترتیبی است.
در حالت کلی در هر مثالی که ترتیب و رتبه برای ما مهم باشد و با توجه به آن‌ها نام گذاری کنیم از مقیاس ترتیبی استفاده کرده‌ایم. مانند مراحل تحصیل.
مقیاس فاصله‌ای
مقیاس فاصله‌ای در رابطه با متغیرهایی است که فاصله و اختلاف آن‌ها به صورت جمعی برای ما مهم است.
برای مثال دمای شهری ۵ درجه‌ی سلسیوس و دمای شهر دیگری ۱۰ درجه‌ی سلسیوس است.
در واحد سلسیوس دمای ۱۰ درجه دو برابر دمای ۵ درجه است(البته دو برابر ۵ درجه دمای سردتر خود سنخیتی با ۱۰ درحه دمای گرم تر ندارد.) اما این تناسب در واحدهای دیگری مانند درجه‌ی کلوین و فارنهایت برقرار نیست؛ زیرا صفرِ این واحدها با یکدیگر یکسان نیست و صفر ثابت و مطلق نداریم.
در بحث دما، چون درجه‌ی حرارت از واحدی به واحد دیگر متغیر است، صفر مطلق ندارد؛ بنابراین فاصله‌ی دماها متفاوت است.
موضوع مورد بحث دیگری در مقیاس فاصله‌ای، نمره‌ی دانش‌آموزان است. نمره‌ی صفر، صفر واقعی نیست؛ زیرا با توجه به یک آزمون نمی‌توان نتیجه گیری کرد که دانش‌آموزی لایق نمره‌ی صفر است و هیچ درکی از درس داده شده ندارد.
صفر گرفتن چه در آزمون هوشی و چه در آزمون درسی به معنای کمبود هوش یا اطلاعات دانش‌آموز نیست.
بحث نمره جزو مقیاس فاصله‌ای است و در رده بندیِ مقیاس نسبتی قرار نمی‌گیرد؛ زیرا صفر مطلق ندارد.
متاسفانه در کتاب درسی آن را در بخش مقیاس نسبتی نام برده که قابل تامل و بازنگری می باشد.
یک مثال دیگر از مقیاس‌های فاصله‌ای، ساعت شروع کلاس‌های درس در دانشگاه است.
مقیاس نسبتی
مقیاس‌های نسبتی علاوه بر حفظ کردن فاصله‌ها، نسبتِ میان متغیرها را نیز حفظ می‌کند.
مقیاس نسبتی ضریب‌دار است.
برای مثال دو فرد با وزن‌های ۵۰ و ۱۰۰ کیلوگرم در دسته‌ی مقیاس‌های نسبتی قرار می‌گیرند که ضریب این مقیاس نیز ۲ است؛ زیرا وزن فرد سنگین‌تر دو برابر وزن فرد سبک‌تر است و دارای اختلاف وزن ۵۰ می باشند.
بحث حقوق افراد در مقیاس‌های نسبتی قرار می‌گیرد زیرا فردی که حقوق ندارد میزان درآمد آن صفر است که این صفر، صفر مطلق است.
متغیرهایی که با واژه ی تعداد شروع می شوند در این مقیاس اندازهگیری می شوند. مانند سن و قد.
نمودارهای حبابی
موضوع بعدی در ریاضی و آمار۱ در رابطه با نمودارهای حبابی و نمودارهای راداری است.
نمودارهای حبابی بیشتر برای پارامتر‌های ۳ متغیره به کار برده می‌شود که در سیستم دو بعدی مولفه‌ی اول روی محور طول‌ها، مولفه‌ی دوم روی محور عرض‌ها و مولفه‌ی سوم به صورت مساحتی عنوان می‌شود.
برای مثال اگر بخواهیم به‌عنوان دایره آن را معرفی کنیم باید مساحت دایره با متغیر سوم متناسب باشد؛ به همین ترتیب شعاع دایره با جذر متغیر سوم متناسب است.
اگر احیانا جذر متغیر سوم عدد بزرگی شد، می‌توان آن را با ضریب در نظر بگیریم و با شعاع مناسب رسم کنیم.
می دانیم اگر تناسب بخواهد به برابری تبدیل شود باید دارای ضریب باشد.
نمودارهای راداری
در نمودارهای راداری که برای پارامتر‌های ۳ متغیره به بالا مطرح می‌شود، به تعداد نیاز‌ها متغیر داریم که این متغیرها در قالب شعاع‌ها می‌باشند.
در هر متغیری مقداری به‌عنوان بیشینه وجود دارد.
به دو صورت می‌توان عمل کرد: اگر بخواهیم یکنواخت عمل کنیم روی هر یک از متغیرها می‌توانیم نسبت بگیریم و درصد آن را محاسبه کنیم و همه ی مقادیر متغیرها را بصورت درصدی در روی شعاع ها انتخاب کنیم.
از طرفی دیگر می‌توان هر بیشینه‌ای را بر حسب همان مقادیری که وجود دارد روی شعاع انتخاب کنیم و مقدار آن متغیر را روی آن شعاع با توجه به بیشینه اش مدرج کنیم. کتاب درسی بیشتر به صورت درصدی و نسبتی عمل کرده است.
در نمودارهای راداری می‌توان وضعیت و موقعیت هر واحد آماری را با توجه به متغیرهای مورد بحث سنجید و با هم مقایسه کرد.
سری زمانی چیست؟
وارد کتاب درسی ریاضی و آمار ۲ می‌شویم. سری زمانی جدیدترین مطلب از ریاضی و آمار۲ است.
سری زمانی، مجموعه‌ی داده‌هایی است که در طی زمان با فواصل منظم گردآوری می‌شوند.
نمودار پراکنش نگاشت سری زمانی که نقاط مشاهده شده را با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌کند، نمودار سری زمانی است.
مثلا می‌خواهیم تعداد دمای ثبت شده در یک روز را با توجه به سری زمانی دمای بدن یک بیمار در ۶ روز که مصرف آنتی بیوتیک را آغاز کرده است، بدانیم.
در سوال مطرح شده است که در پایان این ۶ روز، ۲۴ بار دمای بدن فرد اندازه گیری شده است؛ بنابراین ۲۴ بار را بر ۶ روز تقسیم می‌کنیم تا تعداد اندازه گیری در یک روز به دست آید.
متوجه می‌شویم که در هر روز ۴ بار دمای بدن بیمار اندازه گیری شده است.
اکنون اگر ۲۴ساعت یک شبانه روز را تقسیم بر ۴بار اندازه گیری کنیم در می‌یابیم که در هر روز هر ۶ساعت یک بار دمای بدن بیمار اندازه گیری شده است.
به بیان آماری در هر ۶ ساعت یک داده از بیمار به دست می‌آورند؛ به این داده‌ها، داده‌های سری زمانی می‌گویند.
درون یابی و برون یابی
داده‌های دو بعدی دارای ۲ بعد هستند: بعد طولی و بعد عرضی. در صورتی که این نقاط را در نمودار مشخص کنیم و به هم وصل کنیم، یک نمودار سری زمانی ساخته‌ایم.
در سری زمانی دو موضوع با عنوان “درون یابی” و “برون یابی” مطرح می‌شود.
این دو عنوان مشابه با آنالیز عددی در دانشگاه می‌باشند.
در این مثال اگر جدولی در اختیار داشته باشیم که اطلاعاتی از قبیل “در ساعت ۹، تعداد مشتری ۳۵۰” و “در ساعت ۱۱، تعداد مشتری ۷۵۰” به ما بدهند، می‌توانیم تعداد مشتری های زمان ساعت ۱۰ را درون یابی کنیم.
ابتدا باید معادله‌ی خطی را که از دو نقطه‌ی (۳۵۰ و ۹ ) و ( ۷۵۰ و ۱۱ ) می‌گذرد را بنویسیم و در این معادله‌ی خط، عدد ۱۰ را قرار می‌دهیم تا درون یابی ساعت ۱۰ را به‌دست آوریم.
در این مسائل معمولا مقدار واقعی را به ما می‌دهند. ممکن است مقدار درون یابی را فرضا ۵۵۰ به‌دست آوریم و مقدار واقعی مطرح شده در سوال ۶۰۰ باشد.
مقدار خطای درون یابی هر نقطه که قدرمطلق اختلاف مقدار واقعی با درون یابی می باشد برابر ۵۰ است.
پیشگویی آماری با برون یابی
نمودارهای سری زمانی پیشگویی می‌کنند.
برای مثال اگر بخواهیم بدانیم تعداد مشتریها در ساعت ۲۵ چند است باید از یکپارچه سازی استفاده کنیم؛ یعنی یک نقطه‌ای را به‌عنوان نماینده در نظر بگیریم؛ به گونه‌ای که میانگین طولی آن میانگین ساعت‌ها و میانگین عرضی آن میانگین تعداد مشتریان باشد.
معادله‌ی خطی از نقطه‌ی نماینده به نقطه‌ی انتهایی را به دست می‌آوریم و در این معادله‌ی خط مقدار ۲۵ را جایگذاری می‌کنیم و در نهایت پیشگویی می‌کنیم که تعداد مشتریها در ساعت ۲۵ چند نفر است.
در این چنین مسائل ابتدا سوال را به صورت حدسی پاسخ می‌دهیم، ممکن است روش ما خطا داشته باشد که در نهایت با محاسبه‌ی دقیق، مقدار خطا را به حداقل می‌رسانیم.
در بحث سری‌های زمانی نمودارهای توضیح داده شده به صورت خطی به یکدیگر وصل می‌شوند و به شکل منحنی نیستند.
بحث های شاخص های آماری و سری زمانی، درون یابی و برون یابی موضوعات اصلیِ ریاضی و آمار۲ هستند.
شاخص های آماری
شاخص یک معیار آماری است که تغییرات نسبی یک پارامتر در جامعه آماری را نشان می دهد.
شاخص خط فقر، شاخص بهای کالاها و خدمات مصرفی،شاخص تورم، شاخص خوانایی متن،شاخص پوسیدگی دندان و شاخص سلامت ( توده‌ی بدن ) و … از شاخص‌های جدید و اضافه شده به کتاب است که با توجه به توضیحات کتاب درسی می توان به سادگی مسائل مرتبط با آن را حل کرد.
قابل ذکر است برای محاسبه ی خط فقر زمانی از نصف میانه ی درآمد ماهیانه افراد جامعه به جای نصف میانگین متناظر استفاده می شود که داده دور افتاده داشته باشیم.
برای محاسبه ی هزینه ی یک کالا در زمان خواسته شده به عنوان مثال در به دست آوردن قیمت گوشت، باید قیمت گوشت در سال پایه را ضرب در شاخص سال جدید و تقسیم بر شاخص سال پایه کنیم.
به این طریق قیمت کالای مورد نظر به دست می‌آید. نرخ بیکاری از مباحث دیگری در این کتاب است.
چرخه‌ی آمار
در کتاب درسی ریاضی و آمار۳، چرخه‌ی آمار را به صورت ۵ گام نشان داده است:
- بیان مسئله: لازم است در طرح یک پرسش از بیان دقیق و شفاف استفاده شود تا از نظر هر خواننده ای برداشت های همگرا ایجاد شود.
- طرح و برنامه ریزی
- گردآوری و پاک سازی داده ها
- تحلیل داده ها
- بحث و نتیجه گیری
بیشتر مباحث این بحث از چرخه ی آمار در ادامه ی آمار کتاب ریاضی و آمار۱ می باشد.
قابل توجه است اگر داده دور افتاده داشته باشیم میانه و دامنه ی میان چارکی به جای میانگین و انحراف استاندارد معیارهای
مناسبی برای توصیف داده ها خواهند بود.
در مبحث نمودارها، نمودار جعبه ای از اهمیت ویژه ای برخوردار است.
[/vc_column_text][/vc_column][/vc_row]فایل صوتی کارگاه